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一元二次方程的概念及运用

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[考情分析]近3年中考主要考查: 

选择合适的方法解一元二次方程,常在压轴题中涉及考察;

2.用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况或者根据根的情况求字母系数的取值范围，根与系数的关系的应用;

3.一元二次方程的应用主要以选择题的形式考查列方程，常在解答题中与环等式、函数的实际应用结合考查，难度较大，分值一般3- 10分.

命题点1:一元二次方程的解法(近3年考查5次)

1. 一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x- -2)*=k,则k的值是1

2. 对于任意实数a, b,定义一种运算: ab=a2+b2-ab,若x (x-1)=3，则x的值为-1或2。

3. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.

[问题]解方程:

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x'+2x+4yx+2x- 5=0.

[提示]可用“ 换元法”解方程.

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解:设(x2+2x=t(t≥0)， 则有x2+2x=t. 原方程可化为: t+4t-5= 0.

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定义新运算“a*b': 对于任意实数a, b,都有a*b= (a+b) (a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3=(4+3)(4- -3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为(C)

A.有一个实数根

B.有两个相等的实数根

C.有两个不等的实数根

D.没有实数根.

(仙桃)关于x的方程x2+ 2(m-1)x +m2-m=0有两个实数根a，β,且a°+β2=12,那么m的值为( A )

A. -1   B. -4    C.-4或1     D.-1或4

若关于x的一元二次方程x2- 2mx +m2- 4m - 1=0有两个实数根x1, xz2, 且(x1+2) (xz+2) - 2x2=17,则m的值为(A)

A. 2或6 B. 2或8  C.2   D. 6

命题点:一元二次方程的应用(近6年考查10次)

(鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到9.68万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x的值为( A ) 

A. 120%  B.130%  C.140%  D.150% .

 (襄阳第19题6分)改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在-块长(AD)16m，宽(AB)9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行，另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m,则小路的宽应为多少?

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解:设小路宽为x m,

由题意，得(16-2x) (9-x)=112.

整理，得x2-17x+16=0.

解得x=1，

x2=16>9(不合题意，舍去). .x= 1.

答:小路的宽应为1m

(数学文化) 《田蚍类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有-一个数学问题:“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，长.多阔几何?”意思是: -块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步?根据题意,长比宽多12步.

重难点: 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

①ED已知关于x的一元=次方程x2-4x- 2k+8=0.

(1)若此方程的一个根为3，则k的值为2 方程的另-一个根为1 ;

(2)若方程有两个不等的实数根，则k的取值范围是k>2 ;

(3)若方程有两个实数根，则k的取值范围是k≥2 ;

(4)若方程没有实数根，则k的取值范围是k<2 ;

提分关键

(1)运用根的判别式时注意二次项系数 a≠0或分类讨论;

(2)运用根与系数关系注意隐含条件△≥0.

重难点:一元二次方程的应用.

02(一题多个设问)恩施玉露茶是湖北特产，以“绿、浓、醇、香”四绝而著称.

(1)①某茶叶采购商第一次采购玉露茶的价格为480元/斤，干旱影响，茶叶产量降低，②该采购商第三次的采购价格比第一次多了100. 8元，求解：后两次采购价格的平均增长率;

[分层分析]设后两次采购价格的平均增长率为x,①得到第二次采购的价格为480(1+x)元，②可列方程为480(1+x)2=480+100. 8.

解:设后两次采购价格的平均增长率为x，依题意得480(1+x)2= =480+ 100.8，解得x1=0.1, x=-2. 1(舍).

答:后两次采购价格的平均增长率为10%.